1 引言

长期以来，资产价格一直是经济研究与实践活动的核心内容，对其变化的认知和理解是人们科学研究的重要方向。经验与实证研究[Mandelbrot]表明，资产价格的波动变化常常表现出持续的加速上涨并在短时间内瞬间滑落的大幅波动特征，统计上即表现出“厚尾尖峰”的特征，无法简单地将其归结为供需双方的力量对比。这一波动特征即体现了资产泡沫的积累与破灭，是市场参与者“动物精神”的直接证据。资产泡沫的破灭不仅会导致资产的大量蒸发，极大地破坏金融市场秩序，影响整个社会福祉，也会严重影响市场资源配置的效率与机能。因而，在资产泡沫积累和破灭之前进行及时地检验、识别与预警，有助于市场参与者、监管者提前采取措施，降低资产泡沫破灭带来的冲击影响以及规避可能的资产损失。由此可见，对资产泡沫的研究在理论与投资实践上均具有重要的意义。

证券市场是资产价格形成、发现的重要载体，也是人们投资、投机活动的重要场所，对证券资产泡沫的建模、检验和识别历来是人们研究与实践的核心方向。Blanchard等最早提出了理性预期泡沫模型，认为市场中的理性投资者对资产泡沫成分有一个超额收益的要求以补偿泡沫未来破裂的风险，并且在理性预期条件下资产泡沫将以这个超额收益的速度增长。在统计上，他们进一步提出游程检验、厚尾识别来检验价格泡沫的存在性。而Shiller和LeRoy等基于基本面数据提出采用方差界域检验的方法来衡量资产价格与股息之间的方差变异关系，从而检验泡沫的存在性。West则提出了一套两步检验的方法以改善方差界域方法的局限性，基于Euler方程，该方法分别对无泡沫的零假设与无模型错误设定的零假设进行检验。Dida和Grossman则最早采用协整检验方法考察了资产泡沫的存在性。然而，Evans则认为当考察时间段内一旦出现泡沫的反复积累与破灭，基于单位根检验和协整检验的方法将会失效，因为其无法反映这类泡沫过程的非线性特征。Evans在理性预期泡沫的基础上提出了周期性破灭泡沫模型(Periodically Collapsing Bubbles)。而Van Norden和Schaller基于Evans模型则进一步考察了指数超额收益率与相对泡沫度之间动态关系的状态转换。Froot和Obstfeld则对内生性泡沫模型进行了构建，认为可以通过检验偏离基本面的价格与基本面变量存在指数依赖关系来确认内生性泡沫的存在性。而McQueen和Thorley则基于理性预期泡沫模型创立了持续期依赖检验(Duration Independent)方法，其核心思想即认为理性泡沫中正值超额收益的游程终止概率随着游程长度而递减。对于资产泡沫，国内也有不少研究借助上述模型和检验对沪深两市的价格泡沫进行实证。例如，周爱民采用动态自回归方法检验泡沫，潘国陵则应用方差界域方法进行了泡沫的实证检验；而全登华，贺学会等则分别采用持续期依赖检验实证分析了中国股市的泡沫，崔畅等和孟庆斌等应用门限自回归模型对周期性破灭泡沫模型进行识别，赵鹏与曾剑云借助马尔可夫序贯关系的状态转换方法检验了沪深两市的周期性破灭泡沫，林黎与任若恩应用均值回复平稳随机终结模型实证分析了2005年中期到2007年后期我国股市投机泡沫。同时，国内一些泡沫检验的考察也集中于测算合理的市盈率和股票内在价值，如吴世农等应用CAPM方法，刘愰松构建了有限期限F-O模型，邹辉文基于Kalman滤波分析了股票的内在价值，徐爱农则应用剩余收益的Ohlson模型分析企业价值等。

尽管上述泡沫模型均取得了一定的成功，然而Gurkaynak则认为传统的泡沫模型并不能对泡沫的检验、识别给出令人信服的结果，因为任何一个泡沫，总可以找到另一种方式解释该泡沫现象，而这一解释并不要求泡沫的存在。究其实质，基本面信息的时变性使得人们无法正确地估测基本面信息。同时，传统泡沫模型也假设泡沫存在是一种指数膨胀的，因而无法显著地区分泡沫与指数增长基本面所对应的高速价格增长。Lin等认为除了持续期依赖检验模型，传统的泡沫模型均不能克服Gurkaynak的批评。然而，持续期依赖检验模型依赖月或者周收益率进行检验，因此无法有效地检测3年以内或更短时间产生的泡沫，同时这一模型也无法明确地估计泡沫的可能性。

针对Gurkayank的批评，Lin等认为资产泡沫不是偏离基本面的更高速的指数膨胀，其本质上是显著快于指数增长的膨胀即超指数增长(Super-exponential Growth)。与允许无限膨胀的指数增长形式所不同，超指数增长的过程内蕴着一个临界时点，泡沫在临界时点即表现出发散特征，预示着市场对泡沫的追捧不可能无限持续。然而，临界时点仅仅是理论上的泡沫终结时刻，实际的投机泡沫在接近临界时点积累过程中会越来越不稳定，最终在临界时点之前的某一时刻破裂。Sornette认为泡沫超指数增长可以归因于金融市场中的正反馈作用。在证券市场中，典型的正反馈可来自于理性因素，也可能源于投资者的认知偏差、羊群效应等带来的自我增强等。Sornette与Andersen基于Black-Scholes股价模型，首次提出了一个描述泡沫超指数增长的股价模型即奇异泡沫(Singular Bubble)模型，通过引入泡沫积累时对价格的正反馈，并检验表征正反馈的指数m是否显著大于1以进行泡沫识别，其中临界时点是一个逆Gaussian分布的随机变量。然而，临界时点的引入导致出现有限时间发散的奇异性质，该泡沫模型难以构建合适的统计量检验正反馈指数。而Johansen、Ledoit和Sornette则以另一种形式构造了超指数增长投机泡沫模型(JLS模型)。JLS模型以Blachard理性预期泡沫模型为基础，并认为泡沫不断累积会导致泡沫破裂风险率呈现超指数的增长，而市场对风险的补偿要求又将这种增长反应到价格的泡沫成分之中，使得泡沫呈现同步的超指数膨胀。JLS模型的一大特征是泡沫逼近临界时点过程中出现加速的周期震荡，即对数周期幂律(Log-Periodical Power Law,LPPL)振荡。由此，JLS模型将泡沫的检验转化为识别价格增长是否出现对数周期幂律的模式，因而也常常称JLS模型称之为LPPL模型。随后大量的实证研究表明，JLS模型不仅可以识别超指数膨胀泡沫的存在性，同时也能够对泡沫的破灭时点给出一定的预先估计。如，Jiang等利用JLS模型对沪深两市的两次泡沫(2005年中期至2007年后期，2009年中期)进行了实证检验和诊断，确认了中国股市中的对数周期幂律振荡特征。我们在报告《价格泡沫的形成与破灭》、《LPPL模型在A股市场的实证应用》和《黑天鹅、龙王与市场可预测性》概述总结了LPPL模型的构建、发展以及在A股市场的实证分析与预测，结果表明泡沫的破灭时点与LPPL模型的预估时点能较好的匹配。然而，需要指出的是，LPPL模型客观要求市场在泡沫积累阶段涌现出对数周期幂律模式，使得模型的适用与实用性有较大的限制。

针对以上模型的不足，Lin和Sornette提出了一类新颖的超指数增长泡沫模型—均值回复的平稳随机时点终结(Stochastic Mean-Reverting Termination, SMRT)模型。SMRT模型同样认为市场投机泡沫积累的过程中，股价会在正反馈机制的作用下呈现超指数增长，内蕴着一个临界时点。SMRT模型进一步考虑市场噪音交易者、理性投资人的不断进出与信念更新，使得临界时点成为一个随机过程，也不断变化。一旦市场中理性投资人在理性预期下对泡沫的存在性达成了共识，他们即能够对随机临界时点形成一致的无偏估计，即对应为理性预期到潜在的临界时点。同时，理性预期的存在也恰好使得泡沫市场中的临界时点成为一个围绕潜在临界时点做回复振荡的平稳过程。SMRT模型对泡沫存在性的检验转化为检测一个非线性非平稳股价序列是否蕴含一个均值回复的平稳临界时间序列，并且可以通过估计、表征正反馈强度的指数进行泡沫大小的识别。同时，估计得到的潜在临界时间大小也可以预警泡沫的破灭。

2 超指数增长模型与SMRT模型模型

超指数增长模型的基本逻辑即认为资产泡沫的本质是资产价格在市场正反馈作用机制下产生暂时快于指数增长的情形，这使得泡沫如果不破灭会在有限时间即临界时点处发散。显然，有限时间内不可能有无限的资金支持泡沫的膨胀，因此泡沫必然在临界时点前破灭。我们可以将临界时点视为泡沫的理论终点，即任何泡沫均不可能跨过临界时点继续存在。然而，临界时点不是泡沫破灭的真正时点，而是泡沫破灭的上限阈。同时，一切外在的冲击仅仅是泡沫破灭的诱因，而泡沫在其向临界时点发展过程中将变得越来越不稳定，最终导致泡沫破灭。

我们首先概要地讨论超指数增长模型的两个具体形式：奇异泡沫模型与JLS(LPPL)模型，进而对比考察SMRT模型。

2.1 奇异泡沫(Singular Bubble)模型

   Sornette和Andersen认为在泡沫阶段，资产的价格应满足如下的随机微分方程：

               ， (1)

其中，为一个Wiener过程，刻划价格随机游走的波动，而则是一个跳跃过程代表泡沫的破灭是价格产生的暴跌，即对应为衡量暴跌的幅度。变量是一个待定的漂移变量，可由风险中性鞅测度下导出确定，而扩散系数是波动率的测度，指数则表征正反馈的强度。容易验证，当泡沫没有破灭时，上述模型即对应为随机游走的推广。同时，若、为常数，，式(1)即退化成标准的Black-Scholes股价方程。忽略扩散项，我们将式(1)改写为，

                           (2)

即对应为泡沫破灭之前的股价波动形式，容易证明式(2)的解可以表示为，

                                 (3)

其中，，。可见，式(3)表明若价格存在正反馈时，泡沫即会在一个有限的时间点处发散。进一步加入扩散项，可以证明临界时点即表现为一个随机变量，Andersen和Sornette证明当扩散系数和漂移系数满足一定条件时，临界时点将服从逆Gaussian分布。

2.2  JLS(LPPL)模型

   JLS模型有多种的导出方式，以股票的价格变化与风险积聚为切入，股票价格在泡沫阶段即可用如下随机微分方程所刻划，

                      (4)

而无套利条件下，价格即在风险中性下表现为一个鞅测度，

                     (5)

于是，其中代表了泡沫破灭的风险率，是泡沫在时刻没有破灭，但在未来某一时刻破灭的概率密度。依据理性预期泡沫的思想，泡沫累积过程中，价格被推高，破灭的风险也越来越大，理性投资者将要求对风险进行补偿，因而继续推高价格直至泡沫破灭。因此，在JLS模型中，泡沫的膨胀是理性投资人对破灭风险的客观要求，而破灭的发生则来自于市场噪声交易者的一致性抛盘行为。噪声交易者发生的一致性为的概率实际就是风险率，JLS模型假设来自噪声交易者内部相互仿效的正反馈效应使得它应满足，

由此，资产对数价格的期望即满足，

             (6)

其中、和为待定的参数。由式(6)可知，JLS模型中临界时点的期望价格不会发散，而是加速到达有限值，而真正发散的是产生泡沫破裂的概率密度。因此，JLS模型与奇异泡沫模型在正反馈作用机制的处理上有着较大的不同。在奇异泡沫模型中，正反馈直接作用在泡沫价格，而JLS模型的正反馈作用则反映在价格的变化率，同时也暗示收益率之间的趋势关系，即表明泡沫的存在使得市场存在一定的惯性。然而，由于巨大的背景噪音，在收益率层面不可能直接检验这一惯性特征，只能在价格层面才能得以观察。同时，为了更好地实证检验和分析，JLS模型通常要求风险率在临界时点附近具有加速周期振荡的特征(即对数周期幂律)，因而也常常称其为LPPL模型。

2.3  均值回复随机平稳终结(SMRT)模型

SMRT模型是Lin和Sornette新近提出的一类最新模型，其核心假设即认为市场中理性的交易者是序贯进入市场，并且他们一致地意识到了泡沫的存在，认为泡沫理论上会在一个随机的临界时点终结。然而，泡沫的临界时点并不能准确估计，只能得到一个理性预期下泡沫破灭临界时点的无偏估计。这个无偏估计即对应为“潜在临界时点”。而理性预期的存在也客观上使得随机的临界点成为一个以潜在临界时点为无条件期望的“均值回复过程”，以Orsntein-Uhlenbeck过程予以刻划描述。每一个理性投资者依据其进入市场的“风险收益”约束优化自己的退场时间。由于每人所面对的临界时点不同，导致不同的推出时间，这一非同步性实际上即支持了泡沫的延续。

SMRT模型假设价格泡沫破灭之前，股票的价格可以采用如下随机微分方程描述，

                     (7)

其中对应为市场存在泡沫的一个特殊控制因子，代表随机的临界时点，对应为一个O-U过程，满足均值回复的特性，

                       ，  (8)

Lin和Sornette证明，结合式(8)，式(7)具有如下解析解，

                              (9)

其中，，，。需要指出的是，式(7)中若控制因子且正反馈指数，SMRT模型即退化为一般的几何布朗运动，对应为没有泡沫的特殊情形。容易证明，且时，

对数收益率渐进地成为一个独立正态随机变量，即对应没有出现泡沫的市场情形。依据此模型，Lin和Sornette将泡沫的检验和识别转化为检测1)随机临界时间序列是否能够拒绝非平稳的单位根过程的零假设；2)潜在临界时点与最后观测时点的距离是否足够小；3)正反馈指数是否显著地大于1。

3 模型的估计与泡沫的检验方法

利用随机均值回复终止时间这类模型对股市泡沫的检验，首先需要检验模型的随机临界时间序列是否平稳（其中）；其次则是判断模型的潜在临界时点与最后观测时点的距离是否足够小以及正反馈效应指数m是否显著大于1。参数k和β如何估计，通常是选择使得随机临界时间序列最为平稳的参数点，即最小化平稳性检验统计量的参数点。

检验时间序列是否平稳，通常需要检验序列是否具有确定性的时间趋势和无确定的随机趋势，前者可以用时间序列对时间回归的斜率系数的t检验统计量（林黎和任若恩(2012)），后者可以用时间序列的ADF检验统计量。

由于随机临界时间序列的t检验统计量和ADF检验统计量与参数k和β存在着较高的非线性关系。因此在估计参数时通常需要采用启发式算法。图 1画出了检验统计量与参数的关系（数据p(t)选择了从2005年9月至2007年9月的沪深300指数日收盘价的对数），其中左图是时间序列对时间回归的斜率系数的t检验统计量的绝对值+1的对数，右图是无截距的ADF检验统计量。从图中可以看出，无论是检验时间趋势的t统计量，还是检验随机趋势的ADF统计量，都与参数存在着高度非线性关系，检验统计量关于参数存在着许多局部最优点，因此在优化检验统计量来估计参数时，传统的优化方法不再适用。

图 1 平稳性检验统计量与参数k和β的高度非线性

因此Lin和Sornette、林黎和任若恩(2012)在估计这类模型时，采用了禁忌算法，但优化步骤不相同。前者通过禁忌算法得到10组参数点，使得随机临界时间序列在99.5%的置信水平上拒绝无截距的单位根检验（ADF检验），然后从这10组参数组中选择一组参数，使得时间序列的方差最小。后者则是首先选择若干组参数组，使得序列对时间的回归系数系数的t检验统计量的绝对值最小（最大置信度接受无时间趋势）；然后选择其中一组参数，使得序列的无截距单位根检验统计量最小。

上述两种参数估计的方法，Lin和Sornette(2013)的时间序列的方差最小的方法与林黎和任若恩(2012)的时间序列对时间的回归系数系数的t检验统计量的绝对值最小的方法，都是为了使得随机临界时间序列最大可能不存在确定性的时间趋势，不过后者的方法更为直接，而且具有检验的性质。

因此，两种参数估计方法不同之处在于，对时间序列的平稳性检验上，是先检验序列是否存在确定性的时间趋势，还是先检验序列是否存在不确定的随机趋势。由于单位根检验采用的是无截距的ADF检验，其前提条件则要求序列不存在时间趋势，因此Lin和Sornette(2013)先检验序列是否存在确定性的时间趋势更为合理。

但这两种方法在实际应用时，都可能存在这样一种问题——选择的最有可能不存在时间（随机）趋势的参数点，都可能无法通过随机（时间）趋势的检验。我们采用散射搜索(Scatter search)初始点的启发式算法进行了100次t检验统计量绝对值的最小化（日收盘价数据同上），t检验统计量绝对值都达到全局最优值0，但ADF检验统计量由于计算机精度的原因而无法计算。同样，我们进行了100次ADF检验统计量的最小化，ADF检验统计量的值在-2.6828~-2.6829之间，都通过了1%显著性水平的检验（1%显著性水平的临界值为-2.5701），但t统计量的绝对值在5.7771~5.8535，在0.1%的显著性水平上都无法通过检验。

因此我们提出一组新的估计方法，同时考虑时间趋势和随机趋势的检验统计量。

方法一：优化目标为时间趋势的检验统计量，约束条件为随机趋势的检验统计量满足给定的显著性水平（1%）。

我们进行了100次上述优化过程，其中检验时间趋势的t统计量小于10%显著性水平的临界值（1.6449）的参数点有32个，这些参数点的t统计量的绝对值在0~0.71176之间，ADF统计量的值在-2.595~-2.5721之间。

方法二：优化目标为随机趋势的检验统计量，约束条件为时间趋势的检验统计量满足给定的显著性水平（10%）。

我们也进行了100次优化，这些参数值的ADF统计量都小于1%显著性水平的临界值（-2.5701），在-2.6416~-2.638之间，t统计量的绝对值为1.6432，几乎都在约束条件上。

方法三：优化目标为时间趋势的检验统计量与随机趋势的检验统计量的平均值。

100次优化的ADF统计量的值在-2.595~-2.5939之间，t统计量的绝对值0~0.038243之间，均通过了时间趋势和随机趋势的检验。

从上述对沪深300指数的应用情况来看，Lin和Sornette(2013)、林黎和任若恩(2012)的分部估计的方法都难以得到使得随机临界时间序列同时满足没有时间趋势和随机趋势的参数点，而我们提出的方法则比较容易找到能使随机临界时间序列同时满足没有时间趋势和随机趋势的参数点，特别是方法二和方法三，几乎只需要进行一次散射搜索，就能得到满足标准的参数点。方法一，如果进行10次散射搜索，一次也得不到合理参数点的概率只有2%=（1-32/100)10，可见也比较容易搜索到合理的参数点，而Lin和Sornette(2013)、林黎和任若恩(2012)的方法，则需要很多次的搜索，才可能找到合理的参数点。

从实际应用中，我们也可以发现方法二和方法三更优于方法一，这主要是因为这两种方法更关注于随机临界时间序列是否存在随机趋势，这也是Lin和Sornette(2013)在推导模型时的一个关键假设条件，他们在实证过程中也是只是针对随机临界时间序列的ADF统计量进行优化，因此从拟合模型的角度来讲，随机临界时间序列不存在随机趋势更为重要。

由于模型假设并没有考虑随机临界时间序列具有时间趋势的特征，所以Lin和Sornette(2013)采用的是无截距的ADF统计量。但采用无截距的ADF统计量时，也需要随机临界时间序列没有时间趋势，所以Lin和Sornette(2013)从使随机临界时间序列没有随机趋势的候选参数点中，选择使随机临界时间序列最有可能没有时间趋势的参数点作为估计值。

这类模型是否在随机临界时点存在时间趋势的情况下成立，在实际应用过程中，采用具有截距项的ADF统计量（考虑随机临界时点存在时间趋势的情况）来检验是否更为有效，都是值得进一步研究的问题。

4 实证分析

我们对中国股市从2005年中期开始直至2007年末期出现的加速增长进行实证分析，检验泡沫的存在性和强度。我们选取的大盘指数是中国A股的上证综指、沪深300和深证成指。同时为了细致分析泡沫的结构，我们将所有交易的股票按公司所属的行业细分为29个行业板块，利用行业板块指数的日数据来进行泡沫检测。选用的29个板块是：石油石化，煤炭，有色金属，电力及公用事业，钢铁，基础化工，建筑，建材，轻工制造，机械，电力设备，国防军工，汽车，商贸零售，餐饮旅游，家电，纺织服装，医药，食品饮料，农林牧渔，银行，非银行金融，房地产，交通运输，电子元器件，通信，计算机，传媒，综合，来自中信一级行业指数。

考虑到股改，我们选取2005年9月1日作为泡沫检验的时间起点。同时，从历史数据来看，2007年10月上证指数走到了历史最高点，所以我们选择2007年9月的最后一个交易日9月28日作为样本终点。样本长度为25个月。按照本文第3部分介绍的估计和检验方法对股市的观测数据进行估计和检验。每个指数的时间序列数据都除以了数据的第1个记录，尽量避免在进行优化时可能存在的计算机精度问题。为了尽可能保证能找到满足条件的参数点，我们对每个指数的不同的估计方法进行了24次散射搜索（由于搜索是随机的，因此每次得到的结果可能并不一样）。具体而言，方法一，我们优化的目标函数为检验时间趋势的t统计量，约束条件为检验随机趋势的ADF统计量小于1%的显著性水平，我们将24次搜索结果中t统计量大于10%显著性水平或者ADF统计量大于5%显著性水平的参数点删除掉，再从中选择使优化目标最小的参数点作为估计值。方法一的结果见表 1。

方法一没有搜索到煤炭、有色金属、基础化工、建材、电力设备、国防军工、商贸零售、医药、农林牧渔这9个行业指数合适的参数点，故只列出了其他行业指数的结果。其中表的第2列和第3列是参数k和β的估计结果，第4列Sc为潜在临界时点与最后观测时点的距离，最后两列分别为检验时间趋势的t统计量和检验随机趋势的ADF统计量。在2005年9月至2007年9月这25个月中，总共有505个观测记录，因此t统计量（双侧的上界检验）的1%、5%、10%显著性水平的临界值分别为2.5856、1.9647、1.6479，ADF统计量（单侧的下界检验）的1%、5%、10%显著性水平的临界值分别为-2.5701、-1.9411、-1.616，利用这些临界值与估计结果进行比较，如果估计结果统计量的值大于某一显著性水平的临界值，则说明该估计参数下的随机临界时间序列在这个显著性水平上拒绝没有时间趋势或有随机趋势的原假设。我们的目标是随机临界时间序列不存在时间或随机趋势，因此要求这些统计量的值小于临界值。

从表中可以看出，我们找到的参数点在10%的显著性水平不能拒绝随机临界时间序列不存在时间趋势的原假设，在1%的显著性水平下都能拒绝随机临界时间序列存在随机趋势的原假设，可见参数估计值使得随机临界时间序列是平稳序列。

在参数估计值满足随机临界时间序列平稳的条件下，我们要判断是否存在泡沫，还需要观察两方面的情况：正反馈效应指数m显著大于1，潜在临界时点与最后观测时点的距离是否足够小。按照Lin和Sornette(2013)的标准，将潜在临界时点与最后观测时点的距离（临界时距）小于750天作为判断泡沫存在的警报信号，并把临界时距小于500天和距离小于250天作为更强的警报信号，即一级警报为临界时距小于750天，二级和三级警报分别为临界时距小于500天和临界时距小于250天。根据上述标准，上述所有指数在2007年9月底几乎都在警报范围内，警报信号几乎都在最高级（3级），绝大部分的距离Sc都小于1个季度（62天），一大半行业板块，比如电力及公用事业、轻工制造、餐饮旅游、家电、纺织服装、房地产、交通运输、电子元器件、通信、综合行业指数的临界时距甚至小于1个月，预示着泡沫即将破灭。

我们再来看看方法二和方法三的结果。表 2列出了方法二的估计结果，从表中可以看出，t统计量大多数为1.65，在约束条件上，而ADF值比表 1的更小。从表中可以看出，所有指数都找到了满足随机临界序列平稳的参数估计值。从判断指数是否存在泡沫的方面看，除了食品饮料和非银行金融的临界时距大于750天外，其他指数的临界时距都小于750天，处于警报范围内。同时大部分指数都处于最高级3级警报范围内，只有石油石化、机械、电力设备处于2级警报，传媒处于1级警报。 

表 3列出了方法三的估计结果。其结果更优，除了食品饮料和非银行金融处于2级警报范围内外，其他指数都处于3级警报中。 

为做对比，我们利用方法三对从2003年1月2日至2006年12月29日整整4年的指数数据进行了估计和检验，结果见表 4。我们进行了多次散射搜索，限制0<=m<=4，从搜索结果中剔除在5%的显著性水平拒绝随机临界时间序列不存在时间趋势的原假设的点，和删除在5%的显著性水平下不能拒绝随机临界时间序列存在随机趋势的点，如果经过上述筛选后没有参数点，我们列出使目标函数最小的参数点。

从表中可以看出，绝大部分指数的参数估计值都不能保证随机临界序列不存在时间趋势或随机趋势。有比如指数，比如餐饮旅游、农林牧渔，参数估计值能使得随机临界序列平稳，但临界时距高达几千，不会发出警报信号，只有基础化工、银行会发出错误的警报信号，一个可能的原因就是这些行业指数的股票数量少，股票比重分布不均，导致指数不能真实地代表整个行业的情况，容易受到少数几只股票的影响。 

5 结论

本文提出了平稳随机均值回复终止模型的一种新的估计方法，采用散射搜索方法，同时考虑模型随机临界时间序列的时间趋势和随机趋势。

利用该方法，本文考察了平稳随机均值回复终止模型对中国股市2005年中期至2007年后期加速增长的牛市行情中可能存在的投机泡沫的实证检验，识别不同行业板块间泡沫膨胀强度和积累的稳定性大小，并考察了模型对于泡沫破灭预警的效果。

实证结果表明，该方法更能有效地估计平稳随机均值回复终止模型。该模型能有效地捕捉到中国股价指数在高速增长中由于交易者投机行为产生的正反馈而引发的超指数膨胀形式的泡沫积累；揭示出中国股市在2007年末的连续快速下跌之前已积累了很高的投机泡沫；该模型对于中国股市的泡沫破灭也有很好的预警效果。