金融市场中的市场出清模型假设供给和需求曲线会交于一点，否则市场这只“看不见的手”会推动市场回归稳定的均衡状态。在市场的作用下，金融资产价格的演化可以看做是布朗运动，趋势（期望）和波动（方差）相互独立且稳定。投机者和套利者通过分析期望和方差的分布作出投机和套利的决定，使市场达到均衡状态。
马克维茨的资本资产定价模型（CAMP）是其中的代表，它假定资产的价格是服从正态分布的。这样我们就能够通过期望（一阶矩）和方差（二阶矩）来完全刻画价格的变动规律了。如果价格的变化服从正态分布，价格偏离期望值一个标准差的概率为31.8%，偏离两个标准差和三个标准差的概率分别为4.6%和0.3%。但在实际中，频繁发生的危机造成价格的波动存在肥尾效应，是与CAMP模型的假设相不符的。
在实际市场中，市场内部交易者的结构是复杂的，交易者交易的规模强度和方向都会受到资产价格变动和心理预期的影响而变化，形成一定的反馈作用。这也正是行为金融学中所强调的价值感受对于资产价格以及投资者的投资决策有着不容忽视的影响。市场中很难找到绝对“理性”的投资人，交易者的心中多多少少存在着不稳定的因素以及面临抉择时会有着从众的考虑。这一方面使得人们会在同样的时间对同样的事物可能产生完全不一样的判断，另一方面也使得这种心理作用可能会因为从众心理而被无限放大，导致群体效应。
在现实中很可能存在着不稳定的多维均衡状态，各种投资者的行为汇总起来可能无法达到完全的市场出清。价格的变化也不服从严格的稳定布朗运动，特别是在市场大跌遭遇危机之时，资产价格迅速下降，震幅明显上升，波动率迅速升高。如前面所阐述的一样，此时并不能再用理性来描绘投资者的行为，市场无法迅速达到均衡状态，并不符合有效市场理论，所以此时也就无法用平稳的高斯分布来解释危机的形成过程，一般的传统套利活动或者择时策略也会明显失效。金融危机的一个重要特点就是在股市暴跌的期间价格的时间序列呈现高度相关且波动剧烈，并不服从稳定高斯分布下零相关并且没有记忆性的假设。这样我们就难以用平稳高斯分布来定量地对非稳态时间序列进行刻画。
使用高阶矩来描述市场趋势的特点是通过将数值取幂函数，随着幂值增大，两个数值的函数值差距会明显放大，这给了我们一种观测价格变动情况的“放大镜”。同时奇数阶矩可以保持原来数据的符号，使用奇数高阶矩能够帮助我们更好地判断价格变动的趋势。
1 高阶矩理论简述
矩，是统计学中的一个常用的指标，用来反映数据分布的形态特点。矩用来描述总体数据中的变量值与任意一个给定常数的差的 k 次方的算术平均值。在平时的统计中我们比较常用的是原点矩和中心矩。
原点矩用来描述检验变量关于0的偏离程度，具体定义如下：
中心矩检验的是变量关于其期望的偏离程度，具体定义如下：
其中
在马科维茨的资产定价理论中，通过期望（实际上是一阶原点矩）来描绘资产的收益，方差（二阶中心矩）来刻画资产的风险。在此之后，包括 CAPM 模型在内的主流金融学理论也是主要通过一阶以及二阶矩来实现资产配置，寻找套利空间。这样做的基础是假设资产价格服从正态分布。但在实际中，这一点很难保证，资产价格的分布并不如假设的那样，有时会是非平稳的高斯分布，这样仅仅用一阶和二阶矩来刻画资产价格的时间序列就会是不恰当的。我们不可以忽略高阶矩的存在以及影响。
奇数高阶矩通过放大价格的波动，将趋势明显化，可以帮助我们追随价格变动趋势，在趋势中获取高收益。
2 实证分析
2.1 简单奇数阶矩策略
指数奇数阶矩预测有效性的检验方法如下：
1、 假设价格序列长度为T，首先我们构造普通收益率序列，第1个记录缺失，然后使用下面公式计算普通收益率的p阶原点矩
2、 对p阶原点矩进行指数移动平均处理，参数为α，计算数据长度为M=120，我们不考虑p阶原点矩数据不足M个记录的情况，因此前N+M-1个记录缺失。
其中
3、从第t=N+M+1个记录开始，我们比较第t个p阶原点矩的指数移动平均值EMAt与EMAt-1的大小，若EMAt>EMAt-1，那么第t期末的持仓为1（即第t+1期的信号为+1，第t+1期看多，建仓价为第t期收盘价）；否则第t期末的持仓为-1，第t+1期看空。
图1沪深300指数简单奇数阶矩策略（p=5，N=20，M=120）
表1沪深300指数简单奇数阶矩策略（p=5，N=20，M=120）
|
α=0.01 |
α=0.02 |
α=0.05 |
α=0.1 |
|
|
择时次数 |
119 |
105 |
108 |
161 |
|
累积收益率 |
13.87 |
10.19 |
11.99 |
8.36 |
|
年化收益率 |
27.21% |
24.03% |
25.69% |
22.06% |
|
盈利比率 |
53.78% |
51.43% |
50.93% |
50.93% |
|
最大回撤率 |
72.02% |
73.23% |
77.95% |
60.14% |
|
盈利次数 |
64 |
54 |
55 |
82 |
|
亏损次数 |
55 |
51 |
53 |
79 |
|
平均盈利率 |
8.66% |
9.69% |
9.99% |
7.58% |
|
平均亏损率 |
-6.33% |
-6.17% |
-6.55% |
-5.39% |
|
平均盈亏比（绝对值） |
1.37 |
1.57 |
1.52 |
1.41 |
|
单次最大盈利 |
59.68% |
87.60% |
53.73% |
49.65% |
|
单次最大亏损 |
-25.15% |
-25.15% |
-25.15% |
-25.15% |
|
最大连续盈利次数 |
8 |
10 |
10 |
11 |
|
最大连续亏损次数 |
8 |
7 |
6 |
9 |
从上面的实验结果可以看出，不同α的选取均能明显跑赢指数。指数五阶距择时模型的年化收益约为25%，整体上在指数的上升趋势和下降趋势中能获得比较稳定的收益，在指数趋势逆转时会有一定的亏损。在不同的α 参数下，胜率都能够略微超过50%，并且平均盈利要明显大于平均亏损。在不同的α取值下，单次最大盈利都接近或超过50%，而单次最大亏损则在25% 附近。从最大连续盈利次数和最大连续亏损次数来看，在不同的α值下，最大连续盈利次数都不小于最大连续亏损次数。最大回撤大都在70%左右，比较大，我们下面尝试加入止损和参数优化，对策略进行改进。
2.2 奇数阶矩策略的参数优化与止损
优化参数α的指数奇数阶矩预测有效性的检验方法如下：
1、假设价格序列长度为T，我们构建不同参数α的奇数阶矩策略，每个策略从第t=N+M+1个记录开始计算期末净值与期末持仓，其中第t=N+M+1期的净值为1。
2、我们首先考察第t=N+M+2期至第t=N+M+L+1期总共L期的不同参数α的奇数阶矩策略，选择使得这L期累计收益率（第t=N+M+L+1期末净值除以第t=N+M+1期末净值）最高的参数α，然后在该参数α下计算第t=N+M+L+1期末至t=N+M+2L期末的持仓，由此可计算第t=N+M+L+2期末至第t=N+M+2L+1期末的净值。到第t=N+M+2L+1期末，我们再重新选择使得最近L期累计收益率最高的参数α，如此循环直至第T期。
止损的设定如下：如果单次择时亏损超过5%/10%/20%则保持空仓位，直至择时信号变化。
图2沪深300指数优化参数α的奇数阶矩策略（p=5，N=20，M=120，L=90）
表2沪深300指数优化参数α的奇数阶矩策略（p=5，N=20，M=120，L=90）
|
不止损 |
20%止损 |
10%止损 |
5%止损 |
|
|
择时次数 |
115 |
117 |
123 |
135 |
|
累积收益率 |
16.34 |
20.39 |
15.33 |
8.04 |
|
年化收益率 |
30.06% |
32.60% |
29.34% |
22.49% |
|
盈利比率 |
55.65% |
55.56% |
55.28% |
55.56% |
|
最大回撤率 |
72.02% |
65.49% |
59.50% |
40.80% |
|
盈利次数 |
64 |
65 |
68 |
75 |
|
亏损次数 |
51 |
52 |
55 |
60 |
|
平均盈利率 |
8.51% |
8.35% |
8.49% |
7.96% |
|
平均亏损率 |
-6.53% |
-6.43% |
-6.62% |
-6.34% |
|
平均盈亏比（绝对值） |
1.30 |
1.30 |
1.28 |
1.26 |
|
单次最大盈利 |
59.68% |
59.68% |
59.68% |
59.68% |
|
单次最大亏损 |
-25.15% |
-23.63% |
-23.63% |
-23.63% |
|
最大连续盈利次数 |
8 |
8 |
9 |
10 |
|
最大连续亏损次数 |
8 |
9 |
9 |
9 |
从实验结果可以看出，在进行参数优化和加入止损后，高阶矩策略模型仍然能够明显跑赢指数。整体上，进行调整后收益率有所提高，在不止损、10%止损和20%止损下年化收益都接近30%，比调整之前收益增加。同时回撤也从70%左右降低到55%左右。盈利比率也略有提高，在55%附近。平均盈利比率依然明显超出平均亏损比率。平均单次最大盈利约为60%，而平均单次最大亏损约在25% 附近。再加入止损之后，最大连续盈利次数与最大连续亏损次数相当。
下面我们尝试增加开仓阈值来调整策略。
2.3 考虑开仓阈值的奇数阶矩策略
开仓阈值的设定如下：
设定k为开仓阈值。我们在比较第t个p阶原点矩的指数移动平均值EMAt与EMAt-1的大小，若EMAt>EMAt-1×(1+k)，那么第t期末的持仓为1；若EMAt<EMAt-1×(1-k)，那么第t期末的持仓为-1；否则第t期末的持仓为0。
图3沪深300指数设定开仓阈值的奇数阶矩策略（p=5，N=20，M=120，L=90）
表3沪深300指数设定开仓阈值的奇数阶矩策略（p=5，N=20，M=120，L=90）
|
开仓阈值 |
0% |
0.1% |
0.2% |
0.5% |
1% |
|
择时次数 |
123 |
147 |
145 |
162 |
223 |
|
累积收益率 |
15.33 |
11.53 |
11.29 |
7.97 |
4.74 |
|
年化收益率 |
29.34% |
26.22% |
25.99% |
22.40% |
17.46% |
|
盈利比率 |
55.28% |
57.82% |
56.55% |
53.70% |
51.57% |
|
最大回撤率 |
59.50% |
61.44% |
62.55% |
66.34% |
57.00% |
|
盈利次数 |
68 |
85 |
82 |
87 |
115 |
|
亏损次数 |
55 |
62 |
63 |
75 |
108 |
|
平均盈利率 |
8.49% |
6.90% |
7.19% |
7.03% |
5.94% |
|
平均亏损率 |
-6.62% |
-6.07% |
-6.01% |
-5.44% |
-4.50% |
|
平均盈亏比（绝对值） |
1.28 |
1.14 |
1.20 |
1.29 |
1.32 |
|
单次最大盈利 |
59.68% |
59.68% |
59.68% |
45.02% |
43.08% |
|
单次最大亏损 |
-23.63% |
-23.63% |
-23.63% |
-23.63% |
-23.63% |
|
最大连续盈利次数 |
9 |
8 |
6 |
8 |
9 |
|
最大连续亏损次数 |
9 |
11 |
9 |
9 |
7 |
实验结果表明，加入阈值没有能够显改善策略效果。对比不加入开仓阈值的情况，可以看出，年化收益率随着阈值的增大而减小。在不同的阈值下，盈利比率都能超过50%，且平均盈利率明显超过平均亏损率。加入阈值后的策略能增加单次最大盈利和降低单次最大亏损。加入阈值后的最大连续盈利次数和最大连续亏损次数基本持平。
2.4 不同阶数的奇数阶矩策略
图4沪深300指数不同阶数的奇数阶矩策略（N=20，M=120，L=90，10%止损）
表4沪深300指数不同阶数的奇数阶矩策略（N=20，M=120，L=90，10%止损）
|
开仓阈值 |
p=1 |
p=3 |
p=5 |
p=7 |
|
择时次数 |
274 |
156 |
123 |
90 |
|
累积收益率 |
4.13 |
9.60 |
15.33 |
8.17 |
|
年化收益率 |
16.25% |
24.29% |
29.34% |
22.64% |
|
盈利比率 |
54.74% |
55.77% |
55.28% |
52.22% |
|
最大回撤率 |
41.28% |
60.38% |
59.50% |
58.12% |
|
盈利次数 |
150 |
87 |
68 |
47 |
|
亏损次数 |
124 |
69 |
55 |
43 |
|
平均盈利率 |
4.03% |
6.92% |
8.49% |
11.00% |
|
平均亏损率 |
-3.31% |
-5.81% |
-6.62% |
-7.14% |
|
平均盈亏比（绝对值） |
1.22 |
1.19 |
1.28 |
1.54 |
|
单次最大盈利 |
48.27% |
40.41% |
59.68% |
87.60% |
|
单次最大亏损 |
-26.90% |
-23.63% |
-23.63% |
-21.99% |
|
最大连续盈利次数 |
8 |
11 |
9 |
7 |
|
最大连续亏损次数 |
7 |
7 |
9 |
9 |
如表4中描述地结果，p取奇数3、5、7时，都能获得明显的超额收益；而取1阶矩虽然也能够跑赢指数，但是收益明显低于取3、5、7时。当 p = 5 时，获得最高的年化收益率为29.34%，p = 1、3、7时，年化收益率分别为16.25%、24.29% 和 22.64%。取不同的p 值时，盈利比率都能超过50% 且平均盈利率明显高于平均亏损率。
2.5 单向做多时的奇数阶矩策略
图6沪深300指数奇数阶矩策略单向做多（N=20，M=120，L=90，10%止损）
表6沪深300指数奇数阶矩策略单向做多（N=20，M=120，L=90，10%止损）
|
开仓阈值 |
p=1 |
p=3 |
p=5 |
p=7 |
|
择时次数 |
265 |
151 |
115 |
79 |
|
累积收益率 |
4.50 |
6.90 |
13.93 |
8.11 |
|
年化收益率 |
17.01% |
20.97% |
28.28% |
22.58% |
|
盈利比率 |
53.58% |
50.99% |
53.91% |
49.37% |
|
最大回撤率 |
43.52% |
48.24% |
35.77% |
43.47% |
|
盈利次数 |
142 |
77 |
62 |
39 |
|
亏损次数 |
123 |
74 |
53 |
40 |
|
平均盈利率 |
4.29% |
7.52% |
8.58% |
12.19% |
|
平均亏损率 |
-3.38% |
-5.11% |
-6.01% |
-6.67% |
|
平均盈亏比（绝对值） |
1.27 |
1.47 |
1.43 |
1.83 |
|
单次最大盈利 |
48.27% |
55.42% |
87.60% |
87.60% |
|
单次最大亏损 |
-26.90% |
-24.09% |
-23.63% |
-23.63% |
|
最大连续盈利次数 |
8 |
9 |
10 |
7 |
|
最大连续亏损次数 |
7 |
6 |
7 |
6 |
可以看出，在只能做多的条件下，奇数高阶矩策略依然有效，所有参数均能跑赢指数。特别是取五阶距时，能达到高达28.28%的年化收益，考虑到只做多的持仓时间相对少，该收益已经相当可观。当p取1、3和7时，年化收益分别达到17.01%、20.97%和22.58%。在不同的p值下，盈利比率都在50%附近，且平均盈利率都要明显超过平均亏损率。在不同的p值下，最大连续盈利次数都超过了最大连续亏损次数。
3 结论与展望
在本报告中，我们测试了奇数高阶矩择时策略的有效性。奇数高阶矩通过放大价格变动的差距，对趋势进行判断，进而建立追市策略，在市场中获得收益。跟踪沪深300指数，进行回测发现，通过参数优化并加入适当止损后的高阶矩策略能够获得年化约30%的收益，远远超过指数的增长幅度。
在下期报告中，我们期望进一步挖掘高阶矩择时策略的内涵。一方面，我们尝试构造偶数高阶矩，并带入价格变动的符号，主要测试四阶和六阶矩的效果；另一方面，我们尝试将高阶矩策略应用到商品期货上面，研究高阶矩在大宗商品市场上是否依然有效。
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